Pembuktian Keirasionalan Akar Ke-2019 dari 2

“Jadi, saya akan membuktikan keirasionalan \sqrt[2019]{2}.”

“Ya, lanjutkan.”

“Seperti pembuktian keirasionalan bilangan pada umumnya, saya akan memakai metode kontradiksi. Andaikan \sqrt[2019]{2} rasional. Dengan kata lain, ada dua bilangan positif a,b – yha, \sqrt[2019]{2} positif, kan?-  yang saling relatif prima. dengan \sqrt[2019]{2}=\dfrac{a}{b}. Yah, secara kasarnya, pecahan \dfrac{a}{b} tidak dapat disederhanakan. Oke, lebih formalnya FPB(a,b)=1.

Pangkat-2019-kan kedua sisi persamaan di atas, didapat 2=\dfrac{a^{2019}}{b^{2019}}, dan 2b^{2019}=a^{2019}…”

“Sebentar, berarti kamu akan bilang “Karena sisi kiri persamaan genapberarti sisi kanan persamaan juga genap, a^{2019} juga genap, a genap, a=2c untuk sebuah c bulat positif, substitusikan ini ke persamaan awal, lalu didapat 2b^{2019}=2^{2019}c^{2019}, b^{2019}=2^{2018}a^{2019}, b genap, kontradiksi dengan a, b relatif prima.”?”

“Hah? Tidak. Persamaan terakhir kan serupa dengan b^{2019}+b^{2019}=a^{2019}. Nah, dari Fermat’s Last Theorem, persamaan terakhir tidak memiliki solusi; jadi….”

“Yha.”
-terinspirasi (dan diterjemahkan) dari The Joy of Slightly Fishy Proofs di mathwithbaddrawings.com

Tambahan: Sebenarnya pembuktian kedua adalah argumen sirkular. Referensi dapat dilihat di sini.

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s